抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线x23−y26＝1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．（1）求弦长|AB|；（2）试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位置

Question

抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线(x2)/(3)−(y2)/(6)＝1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）求弦长|AB|；   （2）试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系．(x2)/(3)−(y2)/(6)＝1的右焦点重合，过点P（2，0）且斜率为1的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（1）求弦长|AB|；   （2）试判断以弦AB为直径的圆与抛物线准线的位置关系．(x2)/(3)x2x2x2x2233(y2)/(6)y2y2y2y2266

Answer 1

（1）双曲线右焦点为F（3，0），
它也是抛物线的焦点．
∴抛物线方程为y²2=12x．…（2分）
又直线l的方程为y=x-2，
设A（x₁1，y₁1），B（x₂2，y₂2），
由

y＝x−2

y2＝12x

，
得x²-16x+4=0…（4分）
∴弦长|AB|＝√((1+1)(162−4×4))＝4√(30)．…（6分）
（2）弦中点坐标为x中＝(x1+x2)/(2)＝

8

，

y中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分）

y＝x−2

y2＝12x

y＝x−2

y2＝12x

y＝x−2

y2＝12x

y＝x−2

y2＝12x

y＝x−2y＝x−2y＝x−2y2＝12xy2＝12xy2＝12x2＝12x，
得x²2-16x+4=0…（4分）
∴弦长|AB|＝√((1+1)(162−4×4))＝4√(30)．…（6分）
（2）弦中点坐标为x中＝(x1+x2)/(2)＝

8

，

y中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） |AB|＝√((1+1)(162−4×4))

(1+1)(162−4×4)

(1+1)(162−4×4)(1+1)(162−4×4)2−4×4)＝4√(30)

30

3030．…（6分）
（2）弦中点坐标为x中＝(x1+x2)/(2)＝

8

，

y中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） x中＝(x1+x2)/(2)＝

8

，

y中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） 中＝(x1+x2)/(2)x1+x2x1+x2x1+x21+x22222＝

8

8

 

 

88

 

 

 

 

 

 

，

，

 

 

，，

 

 

 

 

 

 y中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） 中＝x中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） 中−2＝6，…（8分）
∴以AB为直径的圆的圆心为（8，6），
半径r＝2√(30)，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） r＝2√(30)

30

3030，
又准线为x=-3，
∴圆心到准线的距离d＝8+3＝11＞2√(30)＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分） d＝8+3＝11＞2√(30)

30

3030＝r，
∴圆与抛物线准线相离．…（12分）