请用物理方法求出直角坐标系中任意曲线的曲率半径.

Question

请用物理方法求出直角坐标系中任意曲线的曲率半径.

Answer 1

设质点轨道方程为y=y(x),为方便叙述,设y'=dy/dx,y''=d²y/dy²,ρ为曲率半径,速度为v,加速度为a,切向加速的为o,发相机速度为e
证明：y=y(x), dy/dt=y'(dx/dt)
v²=(dx/dt)²+(dy/dt)²+(dx/dt)²(1+(dy/dt)²)
d²y/dt²=y''(dx/dt)²+y'(d²x/dt²)
a²=(d²x/dt²)²+(d²y/dt²)²=(d²x/dt²)²+(y''(dx/dt)²+y'(d²x/dt²))²
v²a²=（dx/dt)²(1+y'²)((d²x/dt²)²+(y''(dx/dt)²+y'(d²x/dt²))²)
=(dx/dt)²(1+y'²)((d²x/dt²)²(1+y'²)+y''²(d²x/dt²)四次方+2(dx/dt)²(d²x/dt²)y'y'')
v²式子两边对t求导,
2vo=x(dx/dt)(d²x/dt²)(1+y'²)+2(dx/xt)²y'y''(dx/dt)
vo=(dx/dt)(d²x/dt²)(1+y'²)+(dx/dt)³y'y''
v²o²=(dx/dt)²(d²x/dt²)²(1+y'²)²+(dx/dt)六次方y'²y''²+2(dx/dt)四次方(d²x/dt²)y'y''(1+y'²)
v²e²=v²a²-v²o²=（dx/dt)六次方y''²
e²=((dx/dt)六次方y''²)/((dx/dt)²(1+y'²)）=（dx/dt)四次方y''²）/（1+y'²）
e=(dx/dt)²绝对值（y'')/根号(1+y'²)
∴ρ=v²/e=(dx/dt)(1+y'²)根号(1+y'²)/((dx/dt)²绝对值（y''))=(1+y'²)二分之三次方/绝对值（y'') □
啊……终于打完了,手都快断了……下面就麻烦你去看一下吧