关于无穷反常积分的一个性质,如何证明函数f(x)是连续函数且∫[a,+∞]f(x)dx收敛则limx→+∞f(x)=0怎样证明.

Question

关于无穷反常积分的一个性质,如何证明
函数f(x)是连续函数 且 ∫[a,+∞]f(x)dx 收敛 则 lim x→+∞ f(x)=0
怎样证明.

Answer 1

此结论错误,这是无穷积分值得注意的一个地方：无穷积分收敛,f(x)连续,非负或者可能还有别的条件,不足以保证lim f(x)=0.反例：f(x)=sin(x^2),或者f(x)=x^2/(1+x^8sin^2x).这些都是无穷积分中很重要的例子.
条件变为f(x)一致连续,则结论成立.证明比较复杂：对任给的e>0,存在d＝d(e)>0,使得只要|x1－x2|0,使得对任意的x>A,有|积分(从x到x+d)f(t)dt|