二重积分计算：∫∫D√（4-x^2-y^2）dxdy,D为以x^2+y^2=2x为边界的上半圆.要有计算过程哦,答案是4π/3-16/9

Question

二重积分计算：∫∫D√（4-x^2-y^2）dxdy,D为以x^2+y^2=2x为边界的上半圆.要有计算过程哦,
答案是4π/3-16/9

Answer 1

圆的方程式(x-1)²+y²=1
令x=rcosθ,y=rsinθ
上半圆的区域在极坐标下表示,就是θ从0变化到π/2,r从0变化到上半圆边界
将x=rcosθ,y=rsinθ代入x²+y²=2x得：r=2cosθ
所求积分在极坐标下：∫(0,π/2) dθ∫(0,2cosθ) [√(4-r²)]rdr
=∫(0,π/2) dθ∫(0,2cosθ) (-1/2)[√(4-r²)]d(4-r²)
=∫(0,π/2) [(-8/3)(sin³θ-1)]dθ
=(-8/3)∫(0,π/2) (sin³θ-1)dθ
=(-8/3)(2/3-π/2)
=4π/3-16/9