有一个半椭圆型钢板,其长半轴长为2r,短半轴为r计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴（1）求面积s以x为自变量的函数式,并写出其定义域（2）求面积s的最大值

Question

有一个半椭圆型钢板,其长半轴长为2r,短半轴为r计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴
（1）求面积s以x为自变量的函数式,并写出其定义域
（2）求面积s的最大值

Answer 1

(1)如图,直角坐标系xOy
有半椭圆x^2/4r^2+y^2/r^2=1即x^2+4y^2=4r^2,0＜x＜2r
因为CD=2x,有C（a,x)在椭圆上
解得a=(4r^2-4x^2)^(1/2)
S=1/2(2x+2r)(4r^2-4x^2)^(1/2)=2(x+r)(r^2-x^2)^(1/2),0＜x＜r
(2)S`=2(-2x^2-rx+r^2)/[(r^2-x^2)^(1/2)]
令S`=0,解得x=r/2,最大值(3*(3^(1/2))/2)r^2.