如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．（Ⅰ）求面积S以x为

Question

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x，梯形面积为S．

（Ⅰ）求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；
（Ⅱ）记f（x）=S²，求f（x）的最大值及面积S的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，以AB的中点O为原点，
以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，
设点C的横坐标为x．点C的纵坐标y满足方程x2+(y2)/(4)=1(y≥0)，
解得y=2√(1-x2)(0＜x＜1)，
∴S=(1)/(2)(2x+2)•2√(1-x2)=2(x+1)•√(1-x2)，其定义域为{x|0＜x＜1}；
（Ⅱ）由题意f（x）=S²=4（x+1）²（1-x²），0＜x＜1，
∴f'（x）=8（x+1）²（1-2x）．
令f'（x）=0，得x=(1)/(2)．
∵当0＜x＜(1)/(2)时，f'（x）＞0；当(1)/(2)＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴f((1)/(2))是f（x）的极大值，也是最大值，
∴当x=(1)/(2)时，S也取得最大值，且最大值为√(f((1)/(2)))=(3√(3))/(2)
∴梯形面积S的最大值为(3√(3))/(2)