已知平面内点M（-3，2），N（5，-4），l是经过点A（-1，-2）且与MN垂直的直线，动点P（x，y）满足PM•PN＝−21．（1）求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程；（2）在轨迹Σ上任取一点P，求P在

Question

已知平面内点M（-3，2），N（5，-4），l是经过点A（-1，-2）且与MN垂直的直线，动点P（x，y）满足

PM

•

PN

＝−21．
（1）求直线l的方程与动点P的轨迹Σ的方程；
（2）在轨迹Σ上任取一点P，求P在直线l右下方的概率．

Answer 1

（1）由题意kMN＝(−4−2)/(5−(−3))＝−(3)/(4)，kl＝−(1)/(kMN)＝(4)/(3)…（2分），
所以直线l的方程为y−(−2)＝(4)/(3)[x−(−1)]，即4x-3y-2=0…（3分），
又

PM

＝(−3−x，2−y)，

PN

＝(5−x，−4−y)…（4分），
由

PM

•

PN

＝−21得（-3-x）（5-x）+（2-y）（-4-y）=-21…（5分），
整理得，轨迹方程为（x-1）²+（y+1）²=4…（6分）
（2）轨迹Σ是圆心为C（1，-1）、半径r=2的圆…（7分），
C到直线l的距离d＝(4×1−3×(−1)−2)/(5)＝1…（8分），
所以d=1＜r，直线l与圆Σ相交…（9分），
设交点为E、F，则cos(1)/(2)∠ECF＝(d)/(r)＝(1)/(2)…（10分），所以∠ECF＝(2π)/(3)…（11分），
所以圆C的优弧EF的长为r•(2π−∠ECF)＝(8π)/(3)…（12分），
因为P在直线l右下方，所以P在优弧EF上，所求概率为P=((8π)/(3))/(2πr)=(2)/(3)…（14分）