计算∬Dxcos（x+y）dσ，其中D是顶点分别为（0，0），（π，0）和（π，π）的三角形闭区域．

Question

计算

∬

D

xcos（x+y）dσ，其中D是顶点分别为（0，0），（π，0）和（π，π）的三角形闭区域．

Answer 1

由题意，积分区域D={（x，y）|0≤x≤π，0≤y≤x}，因此

∬

D

xcos（x+y）dσ=

∫

π 0

xdx

∫

x 0

cos(x+y)dy
=

∫

π 0

xsin2xdx=[−(1)/(2)xcos2x+(1)/(4)sin2x

]

π 0

=−(1)/(2)π