设f（x）在区间[-1，1]上连续且为奇函数，区域D由曲线y=4-x2与y=-3x、x=1所围成，求I＝∬D(1+f(x)ln(y+1+y2))dxdy．

Question

设f（x）在区间[-1，1]上连续且为奇函数，区域D由曲线y=4-x²与y=-3x、x=1所围成，求I＝

∬

D

(1+f(x)ln(y+√(1+y2)))dxdy．

Answer 1

如图所示，设y=-3x、x=1与y＜0所围成的区域为D₁，
y=4-x²与y=-3x、x=1、y＞0所围成的区域为D₂，
y=-3x、x=-1与y＞0所围成的区域为D₃，则
D=D₁+D₂，D₁与D₃关于原点对称，D₂+D₃关于y轴对称
又f（x）在区间[-1，1]上连续且为奇函数，ln(y+√(1+y2))是关于y的奇函数
∴f（x）ln(y+√(1+y2))就是x∈[-1，1]，y∈[-3，3]的奇函数
而D₁与D₃关于原点对称
∴由二重积分的对称性原理，知

∫∫

D1+D3

f(x)ln(y+√(1+y2))dxdy＝0
∴

∫∫

D

1f(x)ln(y+√(1+y2))dxdy＝−

∫∫

D3

f(x)ln(y+√(1+y2))dxdy
∴I＝

∫∫

D

dxdy+

∫∫

D1+D2

f(x)ln(y+√(1+y2))dxdy
=

作业帮用户 2016-11-26