如何证明函数在一个区间无界函数y=1/x*sin(1/x)在区间(0,1内无界,但当x趋于0+时这个函数不是无穷大.请证明?

Question

如何证明函数在一个区间无界
函数y=1/x*sin(1/x)在区间(0,1】内无界,但当x趋于0+时这个函数不是无穷大.请证明?

Answer 1

首先比较一下无穷大和无界的区别.以数列为例（函数的情况类似）,无穷大的定义是：对任意的M>0,存在N,使得n>M时,有|xn|>M；而对于无界,可以根据有界的定义及对偶法则得到定义：对任意M>0,存在n,使得|xn|>M.对比这两个定义,可以发现无穷大的要求要比无界高,因为无穷大要求从数列的某一项起,后面所有项都要可以大于任意给定的正数,而无界只要求存在某些可以大于任意给定正数的项即可,形象地说就是,无穷大量整体是持续增大的,只能有较小的波动,而无界量增大过程中可以伴随着很大的波动（例如你的问题）.从定义还可以得到无穷大量一定无界,但无界不一定是无穷大量,也就是说无穷大比无界更“强”的概念.回到你的问题,取数列xn=1/(2nπ+π/2),则当n趋于∞时xn是趋于0+的,这时yn=(2nπ+π/2)sin(2nπ+π/2)=2nπ+π/2可以大于任意给定正数M,因此y无界,但是取另一数列xn=1/(2nπ),则yn=(2nπ)sin(2nπ)=0,即在x趋于0+的过程中y无限次取0,这显然不满足无穷大的要求,因此x趋于0+时y不是无穷大量.