集合证明设无限集A是正整数集N*的一个真子集,并且A中的每一个数a是至多3000个质数的乘积.证明：必存在A的一个无限子集B,使得B中任何两个不同数的最大公约数都相同.

Question

集合证明
设无限集A是正整数集N*的一个真子集,并且A中的每一个数a是至多3000个质数的乘积.证明：必存在A的一个无限子集B,使得B中任何两个不同数的最大公约数都相同.

Answer 1

由于3000限制.A中数所含素因素的个数有无限多个,取x1∈A.两个情况：
①,A中有无限多个数.每个与1都互素.这些数添上x1,叫A1.
②.有p1^n1（x1的因子）,A中有无限多个数.每个的标准分解式都有p1^n1.
这些数添上x1,也叫A1.
把A1当A ,取x2（≠x1）∈A1.同上作A2（如果是②则有p2^n2（p2≠p1）.
继续这个过程.由于3000的限制必存在n .An之后只有①.
设An之前的素因子幂的积为p1^n1……pm^nm.
令B＝An∪｛x（n+1）,x（n+2）,……｝,B为无穷集.
且则容易验明.B的任意两个数a,b .都有（a,b）＝p1^n1……pm^nm.