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求定积分.∫dx/（根号（7+6x-x^2))上限为1,下限为0的解题过程,
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求定积分.∫dx/（根号（7+6x-x^2))上限为1,下限为0的解题过程,
▼优质解答
答案和解析
∫[0,1] 1/√(7+6x-x²) dx
= ∫[0,1] 1/[16-(x-3)²] dx
= ∫[0,1] 1/[4²-(x-3)²] dx
= arcsin[(x-3)/4] [0,1]
= arcsin[(1-3)/4] - arcsin[(0-3)/4]
= arcsin(-1/2) - arcsin(-3/4)
= arcsin(3/4) - π/6
≈ 0.324
Note：
Make 7+6x-x² = -(x+B)²+C = -x²-2Bx+(C-B²)
-2B=6 => B = -3
C-B²=7 => C=7+(-3)²=16
∴7+6x-x² = -(x-3)²+16
= ∫[0,1] 1/[16-(x-3)²] dx
= ∫[0,1] 1/[4²-(x-3)²] dx
= arcsin[(x-3)/4] [0,1]
= arcsin[(1-3)/4] - arcsin[(0-3)/4]
= arcsin(-1/2) - arcsin(-3/4)
= arcsin(3/4) - π/6
≈ 0.324
Note：
Make 7+6x-x² = -(x+B)²+C = -x²-2Bx+(C-B²)
-2B=6 => B = -3
C-B²=7 => C=7+(-3)²=16
∴7+6x-x² = -(x-3)²+16
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