已知y=f(x)连续可导且满足：∫(其中上限为1,下限为0)f(xt)dt=2f(x),f(1)=1,求f(x)?希望大家帮下忙哦

Question

已知y=f(x)连续可导且满足：∫(其中上限为1,下限为0)f(xt)dt=2f(x),f(1)=1,求f(x)?希望大家帮下忙哦

Answer 1

作变量代换,令xt=u,则t=u/x,dt=(1/x)du,u：0--->x
则积分化为：∫[0--->1] f(xt)dt=∫[0--->x] f(u)/xdu=(1/x)∫[0--->x] f(u)du
则(1/x)∫[0--->x] f(u)du=2f(x),因此∫[0--->x] f(u)du=2xf(x)
两边求导得：f(x)=2f(x)+2xf '(x),即：2xf '(x)+f(x)=0
分离变量后为：2df(x)/f(x)=-dx/x
两边积分得：2ln|f(x)|=-ln|x|+C,将x=1,f(x)=1代入得：C=0
因此2ln|f(x)|=-ln|x|,即 f²(x)=1/|x|,f(x)=1/√|x|