设可导函数f(x)满足积分(0->1)f(ux)du=1/2f(x)+1,则f(x)=(0->10)分别为下限和上限

Question

设可导函数f(x)满足积分(0->1)f(ux)du=1/2f(x)+1,则f(x)=
(0->10)分别为下限和上限

Answer 1

设 t=ux,积分(0->1)f(ux)du=1/x 积分(0->x)f(t)dt
原方程变为：
1/x 积分(0->x)f(t)dt = 1/2f(x)+1
2积分(0->x)f(t)dt = xf(x)+2x
对x求导,得：
2f(x)=f(x)+xf'(x)+2
xf'(x) - f(x) =-2
(f(x)/x)'=-2/x^2
f(x)/x=2/x + C
f(x)= 2 + Cx
带入原方程,得
积分(0->1)(2 + Cxu) du=1/2(2+Cx)+1
2+ Cx/2 =1+ Cx/2 + 1
恒成立.
所以 f(x)=Cx+2,其中C为任意实数.