高数、急求解求微分方程y“－2y'＋5y＝sin2x×e∧x的通解、求非齐次方程的特解时、在“由此得”？不懂

Question

高数、急求解
求微分方程y“－2y'＋5y＝sin2x×e∧x的通解、
求非齐次方程的特解时、在“由此得”？不懂

Answer 1

齐次方程的特征根为一对共轭复根：1+2i,1--2i,同解为e^x(C1cos2x+C2sin2x)；
再求非齐次方程的特令y=e^x*f(x),则y'=e^x(f+f'),y‘’=e^x(f+2f'+f''),代入得
f''+4f=sin2x.由此得【cos2x*f'(x)+2sin2x*f(x)】'=cos2x*f''(x)--2sin2x*f'(x)+2sin2x*f'(x)+4cos2x*f(x)
=cos2x*【sin2x】,故cos2x*f'(x)+2sin2x*f(x)=--1/4*(cos2x)^2+C,取C=0.
再得(f(x)/cos2x)'=【cos2x*f'(x)+2sin2x*f(x)】/(cos2x)^2=--1/4,因此
f(x)/cos2x=--1/4x,f(x)=--0.25xcos2x.
最后得同解为e^x(C1cos2x+C2sin2x--0.25xcos2x).
刚才好像写错了一点,是f''+4f=sin2x.你验证一下等式是否成立就可以了.
当然要想到这一步不太容易,实际上 就是根据f''+4f的形式考虑e^(2ix)(f'－2if)的导函数＝e^(2ix)(f''+4f),但这样的话会有复运算,因此只考虑其实部＝cos2x *f'+2sin2x*f(x)就可以了.