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高数y^2+(x^2-xy)y'=0满足y|x=1=-1的特解
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高数y^2+(x^2-xy)y'=0满足y|x=1=-1的特解
▼优质解答
答案和解析
y^2+(x^2-xy)y'=0
y'=-y^2/(x^2-xy)=-(y/x)^2/(1-y/x)
令y/x=z
则y'=(xz)'=z+xz'=-(y/x)^2/(1-y/x)=-z^2/(1-z)=z^2/(z-1)
解得z'=dz/dx=z/(z-1)*1/x
[(z-1)/z]dz=dx/x
两边分别积分得
z-ln|z|=ln|x|+c
也即
y/x-ln|y/x|=ln|x|+c
也即y/x=ln|y/x|+ln|x|+c=ln|y|+c
化简得y=ke^(y/x)
k=±e^(-c)
将x=1,y=-1代入,得
-1=ke^(-1)
解得k=-e
故特解为
y=-e^(y/x+1)
y'=-y^2/(x^2-xy)=-(y/x)^2/(1-y/x)
令y/x=z
则y'=(xz)'=z+xz'=-(y/x)^2/(1-y/x)=-z^2/(1-z)=z^2/(z-1)
解得z'=dz/dx=z/(z-1)*1/x
[(z-1)/z]dz=dx/x
两边分别积分得
z-ln|z|=ln|x|+c
也即
y/x-ln|y/x|=ln|x|+c
也即y/x=ln|y/x|+ln|x|+c=ln|y|+c
化简得y=ke^(y/x)
k=±e^(-c)
将x=1,y=-1代入,得
-1=ke^(-1)
解得k=-e
故特解为
y=-e^(y/x+1)
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