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方程x∫x0f（x-t）dt=13x3+∫x0f（t）dt满足f（0）=0的特解为．
题目详情
方程x
f（x-t）dt=
x3+
f（t）dt满足f（0）=0的特解为______．
| ∫ | x 0 |
| 1 |
| 3 |
| ∫ | x 0 |
▼优质解答
答案和解析
令x-t=u，原方程变为
x
f(u)du−
uf(u)du＝
x3+
f(t)dt
方程两边对x求导得
f(u)du＝x2+f(x)
再两边对x求导得
f（x）=2x+f'（x），即
−y＝−2x
这是一阶非齐次线性微分方程，其中P（x）=-1，Q（x）=-2x
∴y＝e∫dx[∫(−2x)e−∫dxdx+C]＝2(x+1)+Cex
由y（0）=0得C=-2，
故y=f（x）=2（x+1）-2ex
x
| ∫ | x 0 |
| ∫ | x 0 |
| 1 |
| 3 |
| ∫ | x 0 |
方程两边对x求导得
| ∫ | x 0 |
再两边对x求导得
f（x）=2x+f'（x），即
| dy |
| dx |
这是一阶非齐次线性微分方程，其中P（x）=-1，Q（x）=-2x
∴y＝e∫dx[∫(−2x)e−∫dxdx+C]＝2(x+1)+Cex
由y（0）=0得C=-2，
故y=f（x）=2（x+1）-2ex
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