已知矩阵A=1a−3−14−31−25的特征值有重根且A可对角化，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角形矩阵．

Question

已知矩阵A=

1	a	−3
−1	4	−3
1	−2	5

的特征值有重根且A可对角化，求可逆矩阵P，使P^-1AP为对角形矩阵．

Answer 1

由于A的特征多项式为
|λE−A|＝

.

λ−1	−a	3
1	λ−4	3
−1	2	λ−5

.

=（λ-2）（λ²-8λ+a+10）=0
要使得，A的特征值有重根
①当△=64-4（a+10）=0时，即a=6，此时有重根λ=4
且r（4E-A）=2，因此属于特征值4的线性无关的特征向量只有一个
因而不能对角化
②当a=2时，此时有重根λ=2
且r（2E-A）=1，容易求得（2E-A）x=0的基础解系为：
α1＝(−3，0，1)T，α2＝(2，1，0)T
又另一个特征值为λ=6，且（6E-A）x=0的基础解系为：
α3＝(−1，−1，1)T
∴存在可逆矩阵P=

−3	2	−1
0	1	−1
1	0	1

，使得P^-1AP=diag（2，2，6）