秩为1的矩阵一定和对角矩阵相似吗请简要说明理由,1.首先问题中不应该为矩阵,而是“方阵”.2.方阵规模大于2*2.3.a11≠0.4.这是我的想法：对于r=1的方阵而言,特征值为a11,和（n-1）个0.对于这（

Question

秩为1的矩阵一定和对角矩阵相似吗
请简要说明理由,
1.首先问题中不应该为矩阵,而是“方阵”.
2.方阵规模大于2*2.
3.a11≠0.
4.这是我的想法：对于r=1的方阵而言,特征值为a11,和（n-1）个0.对于这（n-1）个特征值0而言,r（0E-A）=1=n-ni；ni=n-1（即为n-1重根）==>说明n-1重根有n-1个线性无关的特征向量==>该方阵与对角矩阵相似.我的想法有没有错?错在哪里?

Answer 1

不是的.二阶矩阵{1,1；0,0},这个矩阵特征值是1和0,因此秩是1.但是他不与对角阵相似（根据矩阵上三角化理论,他只与上三角矩阵也就是他本身相似）.

矩阵要与对角阵相似,首先要满足矩阵是对称矩阵.如果你那个加上对称矩阵的条件,就对了.秩是1,说明n个特征值一个是1,其余都是0.可以相似对角化.