当抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点及抛物线上一点P组成以P为直角顶点的直角三角形时，则点P的坐标（）A.只与a有关B.只与b有关C.只与c有关D.与a、b、c均有关

Question

当抛物线y=ax²+bx+c与x轴两交点及抛物线上一点P组成以P为直角顶点的直角三角形时，则点P的坐标（　　）
A. 只与a有关
B. 只与b有关
C. 只与c有关
D. 与a、b、c均有关

Answer 1

设抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点A（x₁，0），B（x₂，0），抛物线上一点P（x₀，y₀）．
∵点A、B是抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点，
∴x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，则由韦达定理x₁+x₂=-(b)/(a)，x₁•x₂=(c)/(a)．
过P作PM⊥x轴于M，
∵A（x₁，0），B（x₂，0），P（x₀，y₀），
∴PM=|y₀|，BM=x₂-x₀，AM=x₀-x₁．
∵在△PAB中，∠APB=90°，PM⊥AB，
∴∠PMA=∠PMB=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠PBA+∠BPM=90°，
∴∠BPM=∠PAB，
∴△APM∽△PBM，
∴(PM)/(BM)=(AM)/(PM)，
∴PM²=BM×AM，
∴y₀²=（x₂-x₀）•（x₀-x₁），
整理得：x₀²-（x₁+x₂）x₀+x₁•x₂+y₀²=x₀²+(b)/(a)•x₀+(c)/(a)+y₀²=0，
即x₀²+(b)/(a)•x₀+(c)/(a)+y₀²=0，
两边同时乘以a，得ax₀²+b•x₀+c+ay₀²=0，
∵点P是抛物线y=ax²+bx+c上的一点，
所以y₀=ax₀²+bx₀+c，
∴将其代入ax₀²+b•x₀+c+ay₀²=0，得
y₀+ay₀²=0，
即y₀•（1+ay₀）=0．
∵点P不与点A、B重合，
∴y₀≠0，
∴y₀=-(1)/(a)，
∴x₀=(−b±√(b2−4ac−4))/(2a)．
故选D．