已知函数f(x)=1x+klnx，k≠0．（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）切线斜率中的最大值；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．

Question

已知函数f(x)=(1)/(x)+klnx，k≠0．
（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）切线斜率中的最大值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f(x)=(1)/(x)+klnx的定义域为（0，+∞）.f′(x)=-(1)/(x2)+(k)/(x)(x>0)
当k=2时，f′(x)=-(1)/(x2)+(2)/(x)=-((1)/(x)-1)+1≤1，
所以函数f（x）切线斜率的最大值为1．
（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，
令g(x)=f(x)-k=(1)/(x)+klnx-k，则问题等价于函数g（x）存在零点，
所以g′(x)=-(1)/(x2)+(k)/(x)=(kx-1)/(x2)．
当k<0时，g′（x）<0对（0，+∞）成立，
函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．
而g（1）=1-k>0，g(e1-(1)/(k))=(1)/(e1-(1)/(k))+k(1-(1)/(k))-k=(1)/(e1-(1)/(k))-1<(1)/(e)-1<0，
所以函数g（x）存在零点．
当k>0时，令g′（x）=0，得x=(1)/(k)．
g′（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，(1)/(k)）	(1)/(k)	（(1)/(k)，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

所以g((1)/(k))=k-k+kln(1)/(k)=-klnk为函数g（x）的最小值，
当g((1)/(k))>0时，即0<k<1时，函数g（x）没有零点，
当g((1)/(k))≤0时，即k≥1时，注意到g(e)=(1)/(e)+k-k>0，
所以函数g（x）存在零点．
综上，当k<0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．