已知函数f（x）=x2-2x+alnx有两个极值点x1，x2，且x1<x2，则（）A.f(x1)<3+2ln24B.f(x1)<-1+2ln24C.f(x1)>1+2ln24D.f(x1)>-3+2ln24

Question

已知函数f（x）=x²-2x+alnx有两个极值点x₁，x₂，且x₁<x₂，则（　　）

A. f(x1)<

(3+2ln2)/(4)

B. f(x1)<-

(1+2ln2)/(4)

C. f(x1)>

(1+2ln2)/(4)

D. f(x1)>-

(3+2ln2)/(4)

Answer 1

由题意，f（x）=x²-2x+alnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=2x-2+(a)/(x)=(2x2-2x+a)/(x)；
∵f（x）有两个极值点x₁，x₂，
∴f′（x）=0有两个不同的正实根x₁，x₂，
∵2x²-2x+a=0的判别式△=4-8a>0，解得a<(1)/(2)，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=(a)/(2)>0
∴0<a<(1)/(2)，x₁=(1-√(1-2a))/(2)，
∵0<x₁<x₂，且x₁+x₂=1
∴0<x₁<(1)/(2)，a=2x₁-2x12，
∴f（x₁）=x²-2x₁+（2x₁-2x12）lnx₁．
令g（t）=t²-2t+（2t-2t²）lnt，其中0<t<(1)/(2)，
则g′（t）=2（1-2t）lnt．
当t∈（0，(1)/(2)）时，g′（t）<0，
∴g（t）在（0，(1)/(2)）上是减函数．
∴g（t）>g（(1)/(2)）=-(3+2ln2)/(4)，
故f（x₁）=g（x₁）>-(3+2ln2)/(4)，
故选：D．