已知函数，当时，.（1）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）试证明：.

Question

已知函数 ，当 时， .
（1）若函数 在区间 上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试证明： .

Answer 1

已知函数 ，当 时， .
（1）若函数 在区间 上存在极值点，求实数a的取值范围；
（2）如果当 时，不等式 恒成立，求实数k的取值范围；
（3）试证明： .

（1） ；（2） ；（3）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的极值与最值等数学知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，先对 求导，利用 ， 判断函数的单调区间，利用单调性的变化，判断有无极值；第二问，将已知的恒成立问题转化为 ，即转化为求函数 的最小值问题，利用导数判断 的单调性，求出最小值；第三问，利用第二问的结论进行变形，得到类似所证结论的表达式 ，通过式子的累加得到所证结论.
试题解析：（1）当x>0时， ，有
；
所以 在（0，1）上单调递增，在 上单调递减，
函数 在 处取得唯一的极值．由题意 ，且 ，解得
所求实数 的取值范围为 .              4分
（2）当 时，    5分
令 ，由题意， 在 上恒成立
   6分
令 ，则 ，当且仅当 时取等号．
所以 在 上单调递增， ．   8分
因此，     在 上单调递增， ．
所以 ．所求实数 的取值范围为       9分
（3）由（2），当

作业帮用户 2017-10-08

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