已知函数f（x）=x2-2ax+2lnx，（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，试求实数a的值；（2）若函数f（x）在定义域上为增函数，试求实数a的取值范围；（3）若y=f（x）有两个极值点x1

Question

已知函数f（x）=x²-2ax+2lnx，
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，试求实数a的值；
（2）若函数f（x）在定义域上为增函数，试求实数a的取值范围；
（3）若y=f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁<x₂，a≥(5)/(2)．若不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）因为f（x）=x²-2ax+2lnx，
所以f′（x）=2x-2a+(2)/(x)．
因为在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，
所以2-2a+2=2，解得a=1；
（2）函数f（x）在定义域上为增函数，
即为f′（x）=2x-2a+(2)/(x)≥0在x>0恒成立，
即有a≤x+(1)/(x)的最小值，由x+(1)/(x)≥2，当且仅当x=1时，取得最小值2，
则有a≤2；
（3）函数f（x）的导数为f′（x）=2x-2a+(2)/(x)，
函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，即方程x²-ax+1=0有两个不等的正根，
由a≥(5)/(2)，可得判别式△=a²-4>0．
因为x²-ax+1=0，
所以x₁x₂=1，x₁+x₂=a，x₁=(a-√(a2-4))/(2)，x₂=(a+√(a2-4))/(2)≥2．
因为a≥(5)/(2)，所以0<x₁≤(1)/(2)，
因为(f(x1))/(x2)=x₁f（x₁）=x₁³-2ax₁²+2x₁lnx₁=-x₁³-2x₁+2x₁lnx₁，
设h（x）=-x³-2x+2xlnx（0<x≤(1)/(2)），
则h′（x）=-3x²-2+2+2lnx=-3x²+2lnx，
因为0<x<(1)/(2)，则lnx<0，
h'（x）<0⇒h（x）在（0，(1)/(2)]上单调递减，
则h（x）≥h（(1)/(2)）=-ln2-(9)/(8)．
所以m<-ln2-(9)/(8)．