已知f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点

Question

已知f(x)对一切x满足xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x) 若f(x)在x=0处取极值,证明:x=0是f(x)的极小值点

Answer 1

因为f''(x)存在,所以f'(x)是连续的.
由xf"(x)+3x[f'(x)]^2=1-e^(-x)得
f"(x)=[1-e^(-x)]/x-3[f'(x)]^2
可以看出当x不为零时,f''(x)也是连续的.
于是lim(x-->0)f''(x)=lim(x-->0){[1-e^(-x)]/x-3[f'(x)]^2}
=lim(x-->0){x/x-3[f'(x)]^2}=1>0.
所以由保号性,存在0点的一个空心邻域,
使得在这个空心邻域内有f''(x)>0,所以f'(x)单调递增.
根据取极值的必要条件知f'(0)=0,所以当x0时有,f'(x)>f(0)=0,所以函数f(x)单调递增.于是f(0)是函数f(x)的一个
极小值.