已知函数f（x）=xlnx．（1）求函数f（x）的极值点；（2）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在[1，e]上的最小值．（e=2.71828…）

Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的极值点；
（2）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在[1，e]上的最小值．（e=2.71828…）

Answer 1

（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，x＞0，
由f′（x）=0，得x=(1)/(e)，
x∈（0，(1)/(e)）时，f′（x）＜0；x∈（(1)/(e)，+∞）时，f′（x）＜0，
∴f（x）_极小值=f（(1)/(e)）=(1)/(e)ln(1)/(e)=-(1)/(e)．
（2）∵f（x）=xlnx，
∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，
∴g′（x）=0时，x=e^a-1．
∴①当e^a-1＜1时，即a＜1时，
g（x）在[1，e]上单调递增，故在x=1处取得最小值为0；
②当1≤e a−1≤e时，即0≤a≤1时，
g（x）在[1，e]内，当x=e^a-1取最小值为：
e^a-1（a-1）-ae^a-1+a=a-e^a-1；
③当c^a-1＞e时，即a＞1时，
g（x）在[1，e]内单调递减，
故在x=e处取得最小值为e-a（e-1）=（1-a）e+1．