如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC1上，NM⊥AB1．（1）求证：平面AB1M⊥平面AMN；（2）求异面直线B1N与AB所成的角的正切值；（3）求二面角A-B1N-M

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC₁上，NM⊥AB₁．
（1）求证：平面AB₁M⊥平面AMN；
（2）求异面直线B₁N与AB所成的角的正切值；
（3）求二面角A-B₁N-M的大小．

Answer 1

（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点
BB₁⊥AM   AM⊥BC
AM⊥平面B₁BCC₁
∴AM⊥MN
∵MN⊥AB₁
∴MN⊥平面AB₁M
MN⊂平面AMN
∴平面AB₁M⊥平面AMN
（2）由（1）得：MN⊥B₁M
设CN=x
则：C₁N=2-x
B1M2+MN2＝B1C12+C1N2
解得：x=(1)/(4)
异面直线B₁N与AB所成的角
即∠A₁B₁N
利用勾股定理得：A1N＝(√(65))/(4)
tan∠A₁B₁N=(√(65))/(4)
（3）建立空间直角坐标系A-xyz
由于AM⊥平面B₁BCC₁

AM

作为平面B1BCC1的法向量

AM

＝((1)/(2)，(1)/(2)，0)
设平面AB₁N
的法向量为

n

＝(x，y，z)
进一步求出：

作业帮用户 2017-11-16

问题解析

（1）首先证明线面垂直，进一步转化为面面垂直
（2）先找到异面直线所成角的平面角，再利用解三角形知识求解．
（3）建立空间直角坐标系，利用向量知识来解决二面角问题，使用法向量是解题的关键

名师点评

本题考点：

异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查的知识点：线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，勾股定理得应用，异面直线所成的角，空间直角坐标系，向量的数量积，法向量，夹角公式及相关的运算问题．

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