（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PE⊥BC（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

Question

（2010•宁夏）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

Answer 1

以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，
建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
则D(0，m，0)，E((1)/(2)，(m)/(2)，0)．
可得

.

PE

＝((1)/(2)，(m)/(2)，−n)，

.

BC

＝(m，−1，0)．
因为

.

PE

•

.

BC

＝(m)/(2)−(m)/(2)+0＝0
所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知条件可得m=−(√(3))/(3)，n=1，故C（-(√(3))/(3)，0，0），D(0，−(√(3))/(3)，0)，E((1)/(2)，−(√(3))/(6)，0)，P(0，0，1)
设

n

=（x，y，z）为平面PEH的法向量
则

作业帮用户 2016-11-30