如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求BD和平面CDE所成的角的正弦值．

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到几何体D-ABCE．
（1）求证：BE⊥平面ADE；
（2）求BD和平面CDE所成的角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E为CD的中点，∴∠AED=45°，
同理∠CEB=45°，于是∠AEB=90°，∴BE⊥AE．
∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．
（2）在平面CDE内，过C作CE的垂线，与过D作CE的平行线交于F，
∵BC⊥EC，CF∩BC=C，∴EC⊥平面BCF．
再过B作BG⊥CF于G，可得EC⊥BG．
连接DG，可得BG⊥平面CDE； 
∴∠BDG为BD和平面CDE所成的角．
过D作DH⊥AE交AE于点H，连接CH，BH．
在△DHC中，△DHB中，可得DC＝BD＝√(3)，又DE=EC=1，因此∠DCE=∠CDF=30°，
∵CF⊥DF，∴CF＝(√(3))/(2)．
由题意得BC＝1，FB＝(√(3))/(2)，∴BG＝(√(6))/(3)，
因此sin∠BDG＝(BG)/(BD)＝(√(2))/(3)，
∴BD和平面CDE所成的角的正弦值为(√(2))/(3)．