（2013•浙江模拟）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE=2，FA=FE，∠AEF=45°．（1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，求证：PM∥平面BC

Question

（2013•浙江模拟）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE=2，FA=FE，∠AEF=45°．
（1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，求证：PM∥平面BCE；
（2）求直线CF与平面BCE所成角的正切值．

Answer 1

（1）取AB的中点为N，连接MN，PN，
又∵M是AE的中点，∴MN∥EB．
∵BN

∥

.

PC，∴四边形BCPN是平行四边形．
∴PN∥BC，
∵MN∩NP=N．
∴面PMN∥面EBC，
∴PM∥平面BCE．
（2）∵正方形ABCD⊥平面四边形ABEF，BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∴BC⊥EF，BC⊥BE．
∵△ABE是等腰直角三角形，AE=AB=2，∴∠AEB=45°，EB=2√(2)．
又∵∠AEF=45°．
∴∠FEB=90°．
∴FE⊥EB．
又EB∩BC=B，FE⊥面EBC，
∴∠FCE为直线CF与平面BCE所成角，
由上面可知：EC=√(BC2+EB2)=2√(3)．
∵FA=FE，∠AEF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴FE＝√(2)．
∴tan∠FCE＝(FE)/(EC)＝(√(6))/(6)．