（2014•长沙模拟）如图1，点A是反比例函数y1=2x（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y2=kx（k＜0，x＜0）的图象于点B．（1）若S△AOB=3，则k=；（2）当k=-8时：

Question

（2014•长沙模拟）如图1，点A是反比例函数y₁=(2)/(x)（x＞0）图象上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个反比例函数y₂=(k)/(x)（k＜0，x＜0）的图象于点B．
（1）若S_△AOB=3，则k=______；
（2）当k=-8时：
①若点A的横坐标是1，求∠AOB的度数；
②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y₁、y₂的图象于点M、N，如图2所示．在旋转的过程中，∠OMN的度数是否变化？并说明理由；
（3）如图1，若不论点A在何处，反比例函数y₂=(k)/(x)（k＜0，x＜0）图象上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．

Answer 1

（1）AB交y轴于H，如图1，
∵AB∥x轴，
∴S_△AOH=(1)/(2)×2=1，S_△BOH=(1)/(2)|k|，
∵S_△AOB=3，
∴1+(1)/(2)|k|=3，解得k=4或-4，
而k＜0，
∴k=-4；
故答案为-4；

（2）①把x=1代入y=(2)/(x)得y=2，
∴A点坐标为（1，2），
∵AB∥x轴，
∴B点的纵坐标为2，
把y=2代入y=-(8)/(x)得-(8)/(x)=2，解得x=-4，
∴B点坐标为（-4，2），
∴AH=1，BH=4，OH=2，
∴OA=√(AH2+OH2)=√(5)，AB=5
∴(AH)/(OA)=(OA)/(AB)=(√(5))/(5)，
而∠HAO=∠OAB，
∴△HAO∽△OAB，
∴∠AOB=∠OHA=90°，
②不变化．理由如下：
作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，
设M（a，(2)/(a)），N（b，-(8)/(b)），则MF=(2)/(a)，OF=a，OE=-b，NE=-(8)/(b)，
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度，使∠AOB的两边分别交反比例函数y₁、y₂的图象于点M、N，
∴∠MON=90°，
∴∠NOE+∠MOF=90°，
而∠NOE+∠ONE=90°，
∴∠ONE=∠MOF，
∴Rt△ONE∽Rt△MOF，
∴(NE)/(OF)=(OE)/(MF)=

作业帮用户 2017-10-07

问题解析

（1）AB交y轴于H，根据反比例函数的比例系数的几何意义得S_△AOH=

ON

(1)/(2)×2=1，S_△BOH=(1)/(2)|k|，由于S_△AOB=3，则1+(1)/(2)|k|=3，解得k=4或-4，由于k＜0，
所以k=-4；
（2）①先确定A点坐标为（1，2），B点坐标为（-4，2），根据勾股定理计算出OA=√(5)，由于(AH)/(OA)=(OA)/(AB)=(√(5))/(5)，∠HAO=∠OAB，根据相似三角形的判定得到△HAO∽△OAB，所以∠AOB=∠OHA=90°，
②作MF⊥x轴于F，NE⊥x轴于E，如图2，设M（a，(2)/(a)），N（b，-(8)/(b)），则MF=(2)/(a)，OF=a，OE=-b，NE=-(8)/(b)，根据旋转的性质得∠MON=90°，易证得Rt△ONE∽Rt△MOF，则(NE)/(OF)=(OE)/(MF)=(ON)/(OM)，即(-(8)/(b))/(a)=(-b)/((2)/(a))=(ON)/(OM)，可解得得ab=-4，所以(ON)/(OM)=(-ab)/(2)=(4)/(2)=2，
在Rt△OMN中，利用正切的定义得tan∠NMO=(ON)/(OM)=2，延长可判断∠OMN的值为定值；
（3）连结OD交AB于P，如图1，设A点坐标为（t，(2)/(t)），则B点坐标为（(kt)/(2)，(2)/(t)），
根据平行四边形的性质得PA=PB，PD=PO，根据线段中点坐标公式得到P点坐标为（(kt+2t)/(4)，(2)/(t)），则D点坐标为（(kt+2t)/(2)，(4)/(t)），然后把D（(kt+2t)/(2)，(4)/(t)）代入y=(k)/(x)得(kt+2t)/(2)•(4)/(t)=k，于是可解得k=-4．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题．

考点点评：

本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质；会利用相似比进行计算．

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