(2014•长沙模拟)如图1,点A是反比例函数y1=2x(x>0)图象上的任意一点,过点A作AB∥x轴,交另一个反比例函数y2=kx(k<0,x<0)的图象于点B.(1)若S△AOB=3,则k=;(2)当k=-8时:
(2014•长沙模拟)如图1,点A是反比例函数y1=(x>0)图象上的任意一点,过点A作AB∥x轴,交另一个反比例函数y2=(k<0,x<0)的图象于点B.
(1)若S△AOB=3,则k=______;
(2)当k=-8时:
①若点A的横坐标是1,求∠AOB的度数;
②将①中的∠AOB绕着点O旋转一定的角度,使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N,如图2所示.在旋转的过程中,∠OMN的度数是否变化?并说明理由;
(3)如图1,若不论点A在何处,反比例函数y2=(k<0,x<0)图象上总存在一点D,使得四边形AOBD为平行四边形,求k的值.

答案和解析
(1)AB交y轴于H,如图1,
∵AB∥x轴,
∴S
△AOH=
×2=1,S△BOH=|k|,
∵S△AOB=3,
∴1+|k|=3,解得k=4或-4,
而k<0,
∴k=-4;
故答案为-4;
(2)①把x=1代入y=得y=2,
∴A点坐标为(1,2),
∵AB∥x轴,
∴B点的纵坐标为2,
把y=2代入y=-得-=2,解得x=-4,
∴B点坐标为(-4,2),
∴AH=1,BH=4,OH=2,
∴OA==,AB=5
∴==,
而∠HAO=∠OAB,
∴△HAO∽△OAB,
∴∠AOB=∠OHA=90°,
②不变化.理由如下:
作MF⊥x轴于F,NE⊥x轴于E,如图2,
设M(a,),N(b,-),则MF=,OF=a,OE=-b,NE=-,
∵∠AOB绕着点O旋转一定的角度,使∠AOB的两边分别交反比例函数y1、y2的图象于点M、N,
∴∠MON=90°,
∴∠NOE+∠MOF=90°,
而∠NOE+∠ONE=90°,
∴∠ONE=∠MOF,
∴Rt△ONE∽Rt△MOF,
∴==ON |
作业帮用户
2017-10-07
- 问题解析
- (1)AB交y轴于H,根据反比例函数的比例系数的几何意义得S△AOH=×2=1,S△BOH=|k|,由于S△AOB=3,则1+|k|=3,解得k=4或-4,由于k<0,
所以k=-4;
(2)①先确定A点坐标为(1,2),B点坐标为(-4,2),根据勾股定理计算出OA=,由于==,∠HAO=∠OAB,根据相似三角形的判定得到△HAO∽△OAB,所以∠AOB=∠OHA=90°,
②作MF⊥x轴于F,NE⊥x轴于E,如图2,设M(a,),N(b,-),则MF=,OF=a,OE=-b,NE=-,根据旋转的性质得∠MON=90°,易证得Rt△ONE∽Rt△MOF,则==,即==,可解得得ab=-4,所以===2,
在Rt△OMN中,利用正切的定义得tan∠NMO==2,延长可判断∠OMN的值为定值;
(3)连结OD交AB于P,如图1,设A点坐标为(t,),则B点坐标为(,),
根据平行四边形的性质得PA=PB,PD=PO,根据线段中点坐标公式得到P点坐标为(,),则D点坐标为(,),然后把D(,)代入y=得•=k,于是可解得k=-4.
- 名师点评
-
- 本题考点:
- 反比例函数综合题.
-
- 考点点评:
- 本题考查了反比例函数的综合题:掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质;会利用相似比进行计算.

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