小小的高数求可导函数x,使得∫tf(x-t)dt积分范围是0-x,这个的导数怎么求啊?要具体原因!

Question

小小的高数
求可导函数x,使得∫tf(x-t)dt 积分范围是0-x,这个的导数怎么求啊?要具体原因!

Answer 1

先换元,令x-t=m,
则t=x-m,当原积分范围是0-x
所以积分上限变为0,积分下限变为x
因为x为积分上限,所以这里x相对于m,t是常数.
所以
dt=-dm
代入可得
∫tf(x-t)dt =-∫(x-m)*f(m)dm
积分限为x-0
更改积分上下限得
∫tf(x-t)dt =∫(x-m)*f(m)dm
=∫x*f(m)dm -∫m*f(m)dm
x相对m看做 常量,可提出积分号
=x∫f(m)dm -∫m*f(m)dm
积分限为0-x
对其进行求导.
此时x就不在看做常量了,因为现在是对x求导
所以原式子等于
∫f(m)dm +xf(x)-xf(x)
=∫f(m)dm
积分限0-x
结束!