高数三道问题急急1.limx趋于无穷时((x^3)(sin1/x)+cosx)/x^2+12.lim0.((1/x^2)-cotx)3.设f(x)有二阶连续导数,f'(0)=0lim0.f''(x)/|x|=1则x=0既不是极值点也不是拐点为什么?

Question

高数三道问题 急
急
1.limx趋于无穷时 ((x^3)(sin1/x)+cosx)/x^2+1
2.lim 0.((1/x^2)-cotx)
3.设f(x)有二阶连续导数,f'(0)=0 lim 0.f''(x)/|x|=1 则 x=0既不是极值点也不是拐点 为什么?

Answer 1

1、Taylor展式,sin(1/x)=1/x-1/(6x^3)+小o(1/x^3),x^3sin(1/x)=x^2+小o(x^2),然后分子分母同除以x^2,取极限得1.cosx/x^2+1的极限为0,因为分子有界,分母趋于无穷.
2、通分后Taylor展式,明显分子是x+o(x),而分母等价于x^3,因此极限是无穷.
3、因为极限是1,所以在x＝0的右邻域内有f'(x)/x>0,左邻域内f'(x)/(-x)>0,即f'(x)>0,x>0时；f'(x)>0,x