设函数f(x)=x^2+2x+a,若方程f(f(x))=f(x)有且只有3个实数根,则实数a的取值范围是

Question

设函数f(x)=x^2+2x+a,若方程f(f(x))=f(x)有且只有3个实数根,则实数a的取值范围是

Answer 1

令x+1=t,则
f(x)=x^2+2x+a＝t^2+a-1
根据f(f(x))=f(x)得到下列方程：
(t^2+a-1)^2+2(t^2+a-1)+a=t^2+a-1
移项得：
(t^2+a-1)^2+(t^2+a-1)+a=0
配方后得：
(t^2+a-1/2)^2+a-1/4=0
对函数 y=(t^2+a-1/2)^2+a-1/4求导
得到驻点方程：(t^2+a-1)*t=0
解上述驻点方程，得：
t1=0；t2=√(1-a)；t3=－√(1-a)
因为方程f(f(x))=f(x)有3个实数根，则t1、t2、t3必互不相等且为实数（因为若令t1=t2，则必有1-a=0，于是t3也为0，则就只有一个驻点t=0，若t2不为实数，则t3也不为实数。上述两种情况下，都只有一个驻点，于是方程f(f(x))=f(x)最多只有两个实数根）
同时，由题设条件，方程f(f(x))=f(x)有且只有3个实数根
那么，中间那个驻点必须使得方程y=(t^2+a-1/2)^2+a-1/4＝0，否则，方程f(f(x))=f(x)会有4个或2个或者没有实数根。于是，因t2＞t1＞t3，即t1＝0时，有
(t^2+a-1/2)^2+a-1/4＝0
得到(a-1/2)^2＝1/4－a
化简后有：a^2＝0
即a=0
于是得到结论，方程f(f(x))=f(x)有且只有3个实数根时a的取值范围是a＝0