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设函数f（x）在x=0的某邻域内有三阶连续导数，且当x→0时，f（x）-f（-x）是x的三阶无穷小，则（）A．x=0不是f（x）的驻点B．x=0是f（x）的驻点，但不一定是极值点C．x=0是f（x）的极值
题目详情
设函数f（x）在x=0的某邻域内有三阶连续导数，且当x→0时，f（x）-f（-x）是x的三阶无穷小，则（ ）
A．x=0不是f（x）的驻点
B．x=0是f（x）的驻点，但不一定是极值点
C．x=0是f（x）的极值点
D．（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
A．x=0不是f（x）的驻点
B．x=0是f（x）的驻点，但不一定是极值点
C．x=0是f（x）的极值点
D．（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
▼优质解答
答案和解析
由题意，
＝c≠0，
而函数f （x）在x=0的某邻域内有三阶连续导数
∴上式极限利用洛必达法则，得
c＝
=
=
∴必有f′（0）=f″（0）=0，f″′（0）≠0
∴x=0是f（x）的驻点，x=0不是f（x）的极值点，但（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
故选：D．
| lim |
| x→0 |
| f(x)−f(−x) |
| x3 |
而函数f （x）在x=0的某邻域内有三阶连续导数
∴上式极限利用洛必达法则，得
c＝
| lim |
| x→0 |
| f′(x)+f′(−x) |
| 3x2 |
| lim |
| x→0 |
| f″(x)−f″(−x) |
| 6x |
| lim |
| x→0 |
| f″′(x)+f″′(−x) |
| 6 |
∴必有f′（0）=f″（0）=0，f″′（0）≠0
∴x=0是f（x）的驻点，x=0不是f（x）的极值点，但（0，f（0））是曲线y=f（x）的拐点
故选：D．
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