谁能给一些关于椭圆的一些性质、公式、定理等一些东西…如题,继续,

Question

谁能给一些关于椭圆的一些性质、公式、定理等一些东西…
如题,继续,

Answer 1

椭圆 定义　　椭圆是一种圆锥曲线（也有人叫圆锥截线的）
　　1、平面上到两点距离之和为定值的点的集合（该定值大于两点间距离,一般称为2a）（这两个定点也称为椭圆的焦点,焦点之间的距离叫做焦距）；
　　2、平面上到定点距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点不在定直线上,该常数为小于1的正数）（该定点为椭圆的焦点,该直线称为椭圆的准线）.这两个定义是等价的; 标准方程 　　高中课本在平面直角坐标系中,用方程描述了椭圆,椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点,对称轴为坐标轴.
　　椭圆的标准方程有两种,取决于焦点所在的坐标轴：
　　1）焦点在X轴时,标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
　　2）焦点在Y轴时,标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1 (a>b>0)
　　其中a>0,b>0.a、b中较大者为椭圆长半轴长,较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴,对称轴被椭圆所截,有两条线段,它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时,焦点在x轴上,焦距为2*(a^2-b^2)^0.5,焦距与长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c
　　又及：如果中心在原点,但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时,方程可设为mx^2+ny^2=1(m＞0,n＞0,m≠n).既标准方程的统一形式.
　　椭圆的面积是πab.椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸,它的参数方程是：x=acosθ , y=bsinθ
　　标准形式的椭圆在x0,y0点的切线就是 ： xx0/a^2+yy0/b^2=1 公式 　　椭圆的面积公式
　　S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
　　或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
　　椭圆的周长公式
　　椭圆周长没有公式,有积分式或无限项展开式.
　　椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和.如
　　L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)/2) [椭圆近似周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率
　　椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点对应的准线的距离之比,设椭圆上点P到某焦点距离为PF,到对应准线距离为PL,则
　　e=PF/PL
　　椭圆的准线方程
　　x=±a^2/C
　　椭圆的离心率公式
　　e=c/a(e2c)
　　椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2/C)的距离,数值=b^2/c
　　椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0
　　椭圆过右焦点的半径r=a-ex
　　过左焦点的半径r=a+ex
　　椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两焦点A,B之间的距离,数值=2b^2/a
　　点与椭圆位置关系 点M（x0,y0） 椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1
　　点在圆内： x0^2/a^2+y0^2/b^2＜1
　　点在圆上： x0^2/a^2+y0^2/b^2=1
　　点在圆外： x0^2/a^2+y0^2/b^2＞1
　　直线与椭圆位置关系
　　y=kx+m ①
　　x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②
　　由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1
　　相切△=0
　　相离△＜0无交点
　　相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
　　|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
　　椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中,过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2/a 参数方程的应用 　　求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时,用参数坐标可将问题转化为三角函数问题求解
　　相关性质
　　由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆,所以它属于一种圆锥截线.
　　例如：有一个圆柱,被截得到一个截面,下面证明它是一个椭圆（用上面的第一定义）：
　　将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压,它们碰到截面的时候停止,那么会得到两个公共点,显然他们是截面与球的切点.
　　设两点为F1、F2
　　对于截面上任意一点P,过P做圆柱的母线Q1、Q2,与球、圆柱相切的大圆分别交于Q1、Q2
　　则PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2
　　由定义1知：截面是一个椭圆,且以F1、F2为焦点
　　用同样的方法,也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆
　　椭圆有一些光学性质：椭圆的面镜（以椭圆的长轴为轴,把椭圆转动180度形成的立体图形,其外表面全部做成反射面,中空）可以将某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚光线的作用（也叫凸透镜）,老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法证明）.