半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有凹槽，质量为mA的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的动摩擦因数为μ，质量

Question

半径为R的水平圆台，可绕通过圆心O的竖直光滑细轴CC′转动，如图所示，圆台上沿相互垂直的两个半径方向刻有凹槽，质量为m_A的物体A放在一个槽内，物体A与槽底间的动摩擦因数为μ，质量为m_B的物体B放在另一个槽内，此槽是光滑的．AB间用一长为l（l＜R）且不可伸长的轻绳绕过细轴相连．已知圆台做匀速转动，且A、B两物体相对圆台不动（A、B两物体可视为质点，物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力）．
（1）当圆台转动的角速度为ω₀，OA的长度为l₁时，试写出A、B两个物体受到的向心力大小的表达式．
（2）不论圆台转动的角速度为多大，要使物体A和槽之间恰好没有摩擦力，则OA的长为多大？
（3）设OA长为x，试分析圆台的角速度ω和物体A到圆心的距离x所应满足的条件．

Answer 1

（1）由向心力公式可得：
A向心力大小的表达式：F_A=m_Aω₀²l₁      
B的向心力：F_B=m_Bω₀²（l-l₁）   
（2）设OA长为l₁，则OB为l-l₁；
F=m_Aω²l₁       
F=m_Bω²（l-l₁）   
解得 l1＝(mB)/(mA+mB)l．
（3）当A、B两物体相对转台静止且恰无摩擦时，物体A、B的动力学方程分别为
F=m_Aω²x，F=m_Bω²（l-x），联立解得x＝(mB)/(mA+mB)l
当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做远离轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为
F+μm_Ag=m_Aω²x，F=m_Bω²（l-x）
ω＝√((μmAg)/((mA+mB)x−mBl))，x＞(mB)/(mA+mB)l
当A、B两物体相对转台静止且A恰没有做向轴心的运动时，物体A、B的动力学方程分别为
F-μm_Ag=m_Aω²x，F=m_Bω²（l-x）
ω＝√((μmAg)/(mBl−(mA+mB)x))，x＜(mB)/(mA+mB)l
综上分析可知
√(当l≥x＞(mB)/(mA+mB)l时，ω≤作业帮用户2017-10-11问题解析（1）已知转动角速度，由题意可知两物体的转动半径，由向心力公式可求得向心力大小的表达式；（2）要使A球不受摩擦力，应使绳子的拉力充当两物体的向心力，则两球需要的向心力相等，联立两式可解得距离；（3）可分为两物体恰无摩擦力、A恰好达到最大静摩擦力和B恰好达到最大静摩擦力三种情况分析，由牛顿第二定律可得出角速度及距离的可能值．名师点评本题考点：牛顿第二定律；滑动摩擦力；向心力．考点点评：本题通过连接体考查牛顿第二定律、向心力公式及摩擦力，解题时要注意两物体转动的角速度相同；同时要注意两小球绳子的拉力相同，而拉力与摩擦力共同充当向心力；找好临界值才能正确求解本题；本题难度较大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)