上下底面半径分别为r和R的圆台内有一与上下底面侧面都相切的球求球的半径及圆台与球的表面积?

Question

上下底面半径分别为r和R的圆台内有一与上下底面 侧面都相切的球 求球的半径及圆台与球的表面积?

Answer 1

取过轴线的截面,就是一个梯形内切一个圆,由于内切,所以可以得腰长为R+r
高为sqrt[(R+r)^2-(R-r)^2]=sqrt(4Rr)=2sqrt(Rr)
也就是球的直径,所以球半径等于r'=sqrt(Rr)
球表面积：S‘=4*pi*r'^2=4*pi*Rr
圆台表面积,分三块,两个圆面积分别为pi*R^2和pi*r^2
侧面积的求法：等于两个圆锥的侧面积的差
设小圆锥母线的长为x
小圆锥侧面积为 x(2*pi*r)/2
大圆锥侧面积为 (x+R+r)(2*pi*r)/2
总的圆台表面积为
pi*R^2+pi*r^2+(x+R+r)(2*pi*r)/2-x(2*pi*r)/2
=pi*(R^2+r^2)+(R+r)*pi*r
=pi*(R^2+Rr+2r^2)