已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=4且AA1⊥底面ABCD，点P为DD1的中点，Q为BC边上的一点．（I）若PQ∥面A1ABB1，求出PQ的长；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC．

Question

已知四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的上下底面分别是边长为2和4的正方形，AA₁=4且AA₁⊥底面ABCD，点P为DD₁的中点，Q为BC边上的一点．
（I）若PQ∥面A₁ABB₁，求出PQ的长；
（Ⅱ）求证：AB₁⊥面PBC．

Answer 1

（本题满分为12分）
（I）取AA₁的中点M，连接BM，PM，
∵P，M分别为D₁D，A₁A的中点，
∴PM∥AD，∴PM∥BC，
∴PMBC四点共面，…2分
由PQ∥面A₁ABB₁，可得PQ∥BM，
∴PMBQ为平行四边形，PQ=BM，…4分
在Rt△BAM中，BM=√(16+4)=2√(5)．
可得：PQ=BM=2√(5)．…6分
（Ⅱ）AA₁⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，
∴AA₁⊥BC，
∵ABCD为正方形，
∴AB⊥BC，
∴BC⊥面AA₁BB₁，
∵AB₁⊂面AA₁BB₁，
∴AB₁⊥BC，…8分
通过△ABM≌△A₁B₁A，可得：AB₁⊥BM，…10分
∵BM∩BC=B，
∴AB₁⊥面PBC．…12分