已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+43，则球O的体积等于（）A．42π3B．82π3C．162π3D

Question

已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内．当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4+4√(3)，则球O的体积等于（　　）

A．(4√(2)π)/(3)
B．(8√(2)π)/(3)
C．(16√(2)π)/(3)
D．(32√(2)π)/(3)

Answer 1

由题意，当此四棱锥体积取得最大值时，四棱锥为正四棱锥，
∵该四棱锥的表面积等于4+4√(3)，

设球O的半径为R，则AC=2R，SO=R，如图，
∴该四棱锥的底面边长为 AB=√(2)R，
则有(√(2)R)2+4×(1)/(2)×√(2)R×√(((√(2)R)/(2))2+R2)=4+4√(3)，

∴R=√(2)
∴球O的体积是(4)/(3)πR3=(8√(2)π)/(3)．
故选B．