（2010•连云港二模）如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．（1）求三棱锥D-ABC的表面积；（2）求证AC⊥平面DEF；（3）若M为BD的

Question

（2010•连云港二模）如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D-ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．

Answer 1

（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．
∵△BCD是正三角形，且AB=BC=a，∴AD=AC=√(2)a．
设G为CD的中点，则CG=(1)/(2)a，AG=(√(7))/(2)a．
∴S△ABC＝S△ABD＝(1)/(2)a2，S△BCD＝(√(3))/(4)a2，S△ACD＝(√(7))/(4)a2．
三棱锥D-ABC的表面积为S△ACD＝(4+√(3)+√(7))/(4)a2．
（2）取AC的中点H，∵AB=BC，∴BH⊥AC．
∵AF=3FC，∴F为CH的中点．
∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．
∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．
∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．
∵DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．
（3）存在这样的点N，
当CN=(3)/(8)CA时，MN∥平面DEF．
连CM，设CM∩DE=O，连OF．
由条件知，O为△BCD的重心，CO=(2)/(3)CM．
∴当CF=(2)/(3)CN时，MN∥OF．∴CN=(3)/(2)•(1)/(4)CA＝(3)/(8)CA．