若正三棱锥的底面边长是3,侧棱长为2根号3

Question

若正三棱锥的底面边长是3,侧棱长为2根号3

Answer 1

设正三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=2,AB=BC=AC=√3,
作PH⊥底面ABC,垂足H,则H是正△ABC的外心（重心）,延长AH,交BC于D,
AD=√3BC/2=3/2,
AH=2AD/3=1,（根据重心的性质,AH/DH=2）
△PAH是RT△,
根据勾股定理,
PH=√(PA^2-AH^2)=√3,
设外接球心O,它应在PH或在PH的延长线上,
OP=R,AO=R,OH=PH-R=√3-R,（先暂时定在PH上）,
AO^2=OH^2+AH^2,
R^2=(√3-R）^2+1^2,
3-2√3R+1=0,
R=2√3/3>PH=√3,
故球心在平面ABC以外,不在棱锥内,
∴外接球表面积S=4πR^2=16π/3.