正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积和侧面积．

Question

正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为√(15)，求这个正三棱锥的体积和侧面积．

Answer 1

如图，在正三棱锥S-ABC中，设H为ABC的中心，连接SH，
则SH为该正三棱锥的高．连接AH，延长后交BC于E，
则E为BC的中点，且AH⊥BC．
由于△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝(√(3))/(2)×6＝3√(3)．
∴AH＝(2)/(3)AE＝2√(3)．
在Rt△SHA中，SA＝√(15)，AH＝2√(3)．
∴SH＝√(SA2−AH2)＝√(15−12)＝√(3)．
S△ABC＝(1)/(2)BC•AE＝(1)/(2)×6×3√(3)＝9√(3)．
∴VS−ABC＝(1)/(3)×9√(3)×√(3)＝9．
在正三棱锥S-ABC中，设H为ABC的中心，连接SH，则SH为该
正三棱锥的高，HE＝(1)/(3)AE＝√(3)．
在Rt△SHE中，SE＝√(SH2+HE2)＝√(3+3)＝√(6)．S△SBC＝(1)/(2)BC•SE＝(1)/(2)×6×√(6)＝3√(6)，
∴S_侧=3S_△SBC=9√(6)．