如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．（1）证明：AB∥平面SDC（2）证明：SD⊥平面SAB（3）求A点到平面SBC的距离．

Question

如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB=BC=2，CD=SD=1．
（1）证明：AB∥平面SDC
（2）证明：SD⊥平面SAB
（3）求A点到平面SBC的距离．

Answer 1

（1）证明：因为AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，
所以AB∥平面SDC；
（2）证明：取AB中点E，连结DE，
则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2．
连结SE，则SESE⊥AB，SE=√(3)
又SD=1，故ED²=SE²+SD²
所以∠DSE为直角，
所以SD⊥SE，
由AB⊥DE，AB⊥SE，DE∩SE=E，得AB⊥平面SDE，所以AB⊥SD．
因为AB∩SE=E，
所以SD⊥平面SAB；
（3）由AB⊥平面SDE知，平面ABCD⊥平面SDE．
作SF⊥DE，垂足为F，则SF⊥平面ABCD，SF=(SD×SE)/(DE)=(√(3))/(2)
作FG⊥BC，垂足为G，则FG=DC=1．
连结SG，则SG⊥BC
又FG⊥BC，SG∩FG=G，
故BC⊥平面SFG，平面SBC⊥平面SFG，
作FH⊥SG，H为垂足，则FH⊥平面SBC，FH=(SF×FG)/(SG)=(√(21))/(7)
即F到平面SBC的距离为(√(21))/(7)．
由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，E到平面SBC的距离d也为(√(21))/(7)．
所以A点到平面SBC的距离(2√(21))/(7)．