直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,角B1A1C1=90度,D为BB1的中点.(1)求证：AD垂直平面A1DC1（2）求异面直线C1D与A1C所成角的余弦值.

Question

直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,AA1=2,角B1A1C1=90度,D为BB1的中点.
(1)求证：AD垂直平面A1DC1
（2）求异面直线C1D与A1C所成角的余弦值.

Answer 1

在直三棱柱ABC-A1B1C1中
AD在平面A1B1C1的投影为A1B1,因为A1B1⊥A1C1
所以AD⊥A1C1
在矩形ABB1A1中,∠ADB=∠A1DB1=45度
所以∠ADA1=90度,所以AD⊥A1D
所以AD垂直平面A1DC1
(2)以A1C1,A1B1,A1A分别为x,y,z轴建立坐标系.
则A1(0,0,0),C1(1,0,0),C(1,0,2),D(0,1,1)
则C1D=(-1,1,1),A1C=(1,0,2),C1D*A1C=1
|C1D|=√3,|A1C|=√5
cos