两道初中数学题,做好了加分1、在三角形ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,C’是C点关于AD的对称点,C’B与AD相交于点P,试问:当点D在BC上(BC中点除外)运动时,AD·AP的值怎样变化?并证明.2、把一把三角尺

Question

两道初中数学题,做好了加分
1、在三角形ABC中,AB=AC,D是BC上任意一点,C’是C点关于AD的对称点, C’B与AD相交于点P,试问:当点D在BC上(BC中点除外)运动时,AD·AP的值怎样变化?并证明.
2、把一把三角尺放在长为更号3,宽为1的矩形ABCD上,并在它的直角顶点P在对角线上滑动,直角的一边始终经过B,另一边与DC的延长线相交于Q
(1)当点Q在边
边DC上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系?试正明你关察到的结论.(AB是长边,P在AC上滑动)
我们现在还没学四点共圆,看看有没有其他方法
2、(2)当点Q在边DC的延长线上时,(1)的结论还成立吗?简述理由.
(3)当点P在线段AC上滑动时,三角形PBC成为等腰三角形?如果可能,指出所有能在三角形PBC成为等腰三角形的Q的位置.如果不可能,试说明理由.
(3)

Answer 1

1.
C’是C点关于AD的对称点,AC=AC’,
又AB=AC,所以B,C,C′在A为圆心,AB为半径的圆上,
∠BC′C=∠BAC/2（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）
AP⊥CC′,∠P=90°-∠PC′C=90°-∠BAC/2=∠ABC.
又∠BAD=∠PAB,所以△BAD∽△PAB,
AB/AP=AD/AB,
AD*AP=AB^2,与点D在BC上的位置无关.
2.
直角顶点P在哪条对角线上滑动?AC上,还是BD上?
修改：
1.不用圆的知识来证明：∠BC′C=∠BAC/2
三角形ACC′,ABC′都是等腰三角形,
∠BC′A=(180-∠C′AB)/2,
∠CC′A=(180-∠C′AC)/2,
∠BC′C=∠BC′A-∠CC′A=(C′AC-∠C′AB)/2=
=∠BAC/2.
2.延长CD,BP交于E.
∠E=∠E,∠ECB=∠EPQ=90°,
△ECB∽△EPQ,
EC/EP=EB/EQ,
∠E=∠E,EC/EB=EP/EQ,
△ECP∽△EBQ,
∠ECP=∠EBQ,
即∠DCA=∠PBQ,又∠ADC=∠QPB=90°,
△ADC∽△QPB,
PQ/PB=AD/DC=√3.
学了四点共圆的内容后,证明∠DCA=∠PBQ是很容易的.