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如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,D是BC中点,且AA1=AB(1)证明:AD⊥BC1(2)证明:A1C∥平面AB1D.
题目详情
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为正三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,D是BC中点,且AA1=AB

(1)证明:AD⊥BC1
(2)证明:A1C∥平面AB1D.

(1)证明:AD⊥BC1
(2)证明:A1C∥平面AB1D.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)∵ABC-A1B1C1为三棱柱,D是BC中点,AA1⊥平面ABC,AD⊂平面ABC,
∴AA1⊥AD;又AA1∥BB1,
∴AD⊥BB1;
又底面ABC为正三角形,D是BC中点,
∴AD⊥BC,而BC∩BB1=B,
∴AD⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
∴AD⊥BC1;
(2))取C1B1的中点E,连接A1E,ED,

则B1E
DC,
∴四边形B1DCE为平行四边形,于是有B1D∥EC,又A1E∥AD,B1D∩AD=D,A1E∩EC=E,
∴平面A1EC∥平面AB1D,A1C⊂平面A1EC,
∴A1C∥平面AB1D.
∴AA1⊥AD;又AA1∥BB1,
∴AD⊥BB1;
又底面ABC为正三角形,D是BC中点,
∴AD⊥BC,而BC∩BB1=B,
∴AD⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
∴AD⊥BC1;
(2))取C1B1的中点E,连接A1E,ED,

则B1E
∥ |
. |
∴四边形B1DCE为平行四边形,于是有B1D∥EC,又A1E∥AD,B1D∩AD=D,A1E∩EC=E,
∴平面A1EC∥平面AB1D,A1C⊂平面A1EC,
∴A1C∥平面AB1D.
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