在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点．（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行；若存在,求AP的长；若不存在,说明理由．不要用平面向量的方

Question

在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B1E⊥AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的行；若存在,求AP的长；若不存在,说明理由．
不要用平面向量的方法，要几何证明、、、

Answer 1

1) 因为A1B1,DE⊥平面AA1D1D,所以A1D是B1E在平面AA1D1D上的投影
    又AA1=AD=1,矩形AA1D1D是正方形,有A1D⊥AD1
    根据三垂线定理,A1D⊥AD1,A1D是B1E在平面AA1D1D上的投影,得B1E⊥AD1
2) 存在这样的P,AP=1/2
     先证AP=1/2符合条件：
     过P作PQ∥A1B1,交AB1于Q,联结QE
     AP=1/2=AA1/2,PQ∥A1B1,则PQ是△AA1B1的中位线
     有PQ=A1B1/2=DC/2=DE,又DE∥A1B1∥PQ
     所以四边形DEQP是平行四边形,PD∥QE
     而QE在平面B1AE上,所以DP∥平面B1AE
 

 
     再证P的唯一性：
     若不然,设AA1上有异于P的一点P',使DP'∥平面B1AE
     由于DP,DP'两条不同的直线相交,且有DP,DP'∥平面B1AE
     所以平面DPP'∥平面B1EA,即平面ADD1A1∥平面B1AE
     这与平面ADD1A1于平面B1AE交于A矛盾
     所以AP=1/2