已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点,且满足|PA|×|BA|=PB×AB（1）求点P的轨迹C对应的方程（2）以知点A（m,2）在曲线C上,过点A作曲线的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1,k2满足k1×k2=2.求证：直线DE过定点,

Question

已知A(1,0),B(-1,0),P是平面上一动点,且满足|PA|×|BA|=PB×AB
（1）求点P的轨迹C对应的方程
（2）以知点A（m,2）在曲线C上,过点A作曲线的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k1,k2 满足k1×k2=2.求证：直线 DE过定点,并求出这个定点.（|PA|,|BA|,PB,AB上都有表示向量的箭头）

Answer 1

（1）设P(x,y),则|PA|=√[(x-1)^2+y^2],|BA|=2,
向量PB=(-1-x,-y),AB=(-2,0),
由|PA|×|BA|=PB×AB 得2√[(x-1)^2+y^2]=2（1+x),
平方,化简得y^2=4x,为所求.
（2）点A（m,2）在曲线C上,
∴4=4m,m=1.
AD:y=k1(x-1)+2,
与y^2=4x联立,解得x1=1,y1=2;x2=(k1^2-4k1+4)/k1^2,y2=(4-2k1)/k1.
∴D(x2,y2).
以k2代k1得E的坐标.
∴DE的斜率=[(4-2k1)/k1-(4-2k2)/k2]/[(k1^2-4k1+4)/k1^2-(k2^2-4k2+4)/k2^2]
=4k1k2*(k2-k1)/[4k1k2*(k1-k2)+4(k2^2-k1^2)]
=k1k2/(k1+k2-k1k2),k1k2=2,
∴上式=2/(k1+2/k1-2)=2k1/(k1^2-2k1+2),
DE的方程是y-(4-2k1)/k1=[2k1/(k1^2-2k1+2)]*[x-(k1^2-4k1+4)/k1^2],①
令k1=1,得y-2=2(x-1);
令k1=4,得y+1=(4/5)(x-1/4).
解得x=-1,y=-2.
代入①,左=-4/k,右=-2k/(k^2-2k+2)*(2k^2-4k+4)/k^2=-4/k.(省去下标）.
∴DE过定点(-1,-2).