（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的正弦值．

Question

（2014•辽宁）如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥BC；
（Ⅱ）求二面角E-BF-C的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，-1，√(3)），D（√(3)，-1，0），C（0，2，0），因而E（0，(1)/(2)，(√(3))/(2)），F（(√(3))/(2)，(1)/(2)，0），所以

EF

=（(√(3))/(2)，0，-(√(3))/(2)），

BC

=（0，2，0），因此

EF

•

BC

=0，所以EF⊥BC．
（Ⅱ）在图中，设平面BFC的一个法向量

n1

=（0，0，1），平面BEF的法向量

n2

=（x，y，z），又

BF

=（(√(3))/(2)，(1)/(2)，0），

BE

=（0，(1)/(2)，(√(3))/(2)），
由

n2

•

BF

＝0

n2

•

BE

＝0

得其中一个

n2

=（1，-√(3)，1），
设二面角E-BF-C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则
cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|(n1•n2)/(|n1||n2|)|=(1)/(√(5))，
因此sinθ=(2)/(√(5))=(2√(5))/(5)，即所求二面角正弦值为(2√(5))/(5)．